TPE :
le dopage dans le milieu sportif, les raisons et conséquences éthiques biologiques et sportives
Gros Plan sur le dilemme du sportif
Pour expliquer le dilemme du sportif, nous avons besoin d'une notion mathématique : l'espérance en probabilité.
Expliquons cette notion sur un exemple :
Un jeu consiste à lancer un dé équilibré à 6 faces. Le numéro 6 fait gagner 10€. Les autres faces font perdre 5€.
Notons G le gain algébrique. Il peut être égal à +10 ou -5.
A chaque lancer, la probabilité d’avoir G = 10 est de 1/6 et la probabilité d’avoir G = -5 est 5/6
Si on joue un très grand nombre de fois, la fréquence de la face 6 doit être égale à 1/6. On peut donc considérer que le gain moyen est 1/6×10+5/6×(-5) = (-15)/6 = -2.5
Si on joue un très grand nombre de fois, le gain moyen sera égal à -2.5. En fait, en moyenne, on va perdre 2.5€ par partie.
-2.5 est appelé l’espérance de G. On note E(G) = -2.5
Revenons au cas du dopage
On considère donc 2 sportifs de même niveau et qui réagissent de la même façon au dopage.
Notons A la somme d’argent mise en jeu à chaque compétition. (On suppose que cette somme est identique à chaque fois).
Notons d la probabilité de se faire contrôler lorsqu’on est dopé.
Notons C, la somme que devra payer un joueur s’il se fait contrôler positivement lors d’une compétition.
Notons G le gain à l’issue d’une compétition.
On suppose que A est très grand, que les produits dopants améliorent beaucoup les capacités et qu’il y a peu de contrôles.
On a donc (p-1/2)A > dC
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Cas 1 : S’ils ne se dopent pas ils ont donc autant de chance de gagner.
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Cas 2 : S’ils se dopent tous les 2, ils ont encore autant de chance de gagner
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Dans ces 2 cas, la probabilité de gagner est identique pour les 2 joueurs : ½
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Cas 3 : Si l’un se dope mais pas l’autre, le dopé aura plus de chance de gagner. Sa probabilité de gagner sera donc supérieure à ½ alors que celle de l’autre joueur sera inférieure à ½.
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Notons p la probabilité de gagner d’un joueur dopé lorsque l’autre ne l’est pas.
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Etudions les gains possibles de chaque joueur à chaque compétition :
Si le joueur n’est pas dopé, il peut gagner A€ ou rien s’il perd.
On a donc G = 0 ou G = A
Si le joueur est dopé, il peut gagner A €, rien s’il perd, ou perdre C € s’il se fait contrôler.
On a donc G = A ou G = 0 ou G = -C
Maintenant, mettons-nous à la place d’un joueur : Paul. Il ne sait pas si l’autre (Mathieu) se dope. Il se demande s’il a plus d’intérêts financiers à choisir le dopage…
Il doit donc étudier ses gains dans le cas ou Mathieu a choisi de se doper et dans le cas contraire…
Supposons donc dans un premier temps que Mathieu se dope :
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Si Paul se dope aussi, alors, à chaque compétition, il a autant de chance de gagner que Mathieu : ½
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A chaque compétition il peut donc gagner A€ avec une probabilité ½, perdre C€ avec une probabilité d ou ne rien gagner
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En moyenne, s’il joue très souvent, il peut donc espérer gagner : E(G) = 1/2A - dC
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Si Paul ne se dope pas, alors il a moins de chance de gagner que Mathieu. Mathieu a une probabilité p de gagner donc Paul, lui, a une probabilité 1-p de gagner A€. En moyenne, s’il joue très souvent, il peut donc espérer gagner : E(G) = (1-p)A
Paul doit donc regarder quel gain moyen est le plus intéressant… 1/2A - dC ou (1-p)A ???
Comme (p-1/2)A > dC on a Ap - 0.5A - dC > 0 donc -dC > 0.5A-Ap
Donc : 1/2A - dC > 0.5A + 0.5A - Ap = A - Ap = A(1 - p)
Donc le gain moyen avec dopage est plus élevé !!!
Supposons maintenant que Mathieu ne se dope pas :
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Si Paul ne se dope pas non plus, alors, à chaque compétition, il a autant de chance de gagner que Mathieu : ½
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A chaque compétition il peut donc gagner A€ avec une probabilité ½, ou ne rien gagner
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En moyenne, s’il joue très souvent, il peut donc espérer gagner : E(G) = 1/2A = 0.5A
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Si Paul se dope, alors il a plus de chance de gagner que Mathieu. Paul a une probabilité p de gagner A€ mais il peut aussi perdre C€ avec une proba d s’il est contrôlé ! En moyenne, s’il joue très souvent, il peut donc espérer gagner : E(G) = pA - dC
Paul doit donc regarder quel gain moyen est le plus intéressant… 0.5A ou pA - dC
Comme (p-1/2)A > dC on a Ap - 0.5A - dC > 0 donc -dC > 0.5A - Ap
Donc : pA - dC > pA + 0.5A - Ap = 0.5A
Donc le gain moyen avec dopage est plus élevé !!!
Donc quel que soit le choix de Mathieu, le gain moyen théorique de Paul est plus élevé avec le dopage.
On est bien dans un cas de dilemme du prisonnier puisque finalement, s’ils acceptaient de ne pas se doper et s’ils respecter la règle, ils gagneraient en moyenne 0.5A, ce qui est plus élevé que lorsqu’ils se dopent tous les deux : 0.5A-dC
Cela montre que stratégiquement, il est plus avantageux de se doper étant donné que l’on ne connait pas les choix de son adversaire, mais que pourtant, dans un monde sans tricherie, ils gagneraient plus d’argent !!!
(De plus, l’auteur ne prend pas en compte ici les coûts de ces drogues…)
Le modèle reste un modèle mathématique…. Les hypothèses sont fortes… les joueurs doivent avoir le même niveau et réagir de façon semblable au dopage… de plus, l’auteur ne prend pas en compte le fait que si un sportif se fait contrôler positivement alors il aura plus de chances de se faire contrôler la fois suivante. Du coup, d ne devraient pas être constant… le problème devient alors plus compliqué à modéliser…
Les résultats obtenus montrent qu’un athlète a tout intérêt à se doper car le gain avec dopage est plus élevé dans tous les cas et il y a une infime chance pour que cette athlète passe un contrôle.
Article La Dépêche du 28/06/2013 : Impossible de gagner le Tour de France sans dopage
Dans une interview accordée au journal Le Monde, l’Américain Lance Armstrong septuple vainqueur de la grande boucle explique que le futur gagnant du Tour aura forcément pris des substances illicites. « C'est impossible de gagner le Tour de France sans dopage. Car le Tour est une épreuve d'endurance où l'oxygène est déterminant »
